カントル、デデキントによる集合論の基礎づけ。
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ヒルベルトによる数学の形式化・公理システム化。
- （このカッコの中に書いてあることはウソです。）
↑これは本当か嘘か？
- 全ての規則には例外がある。
- ２０字以下ではあらわせない、最小の整数。
- 「クレタ人の言うことは全てウソだ」とクレタ人が言った。
-
「自分自身を要素として含まない集合」を全部集めた集合をＷとする。
- Ｗ自身はこの集合Ｗの要素であろうか？
yesの場合
１）と２）のＸにＷを代入すると、
１）ＷがＷの要素である。
とは
２）ＷがＷの要素ではない。
ということである。
noの場合
上の２）から１）が言える。
ゆえにどちらの場合でも矛盾が発生してしまう。
任意の集合Ｘについて
１）ＸがＷの要素である。
とは
２）ＸがＸの要素ではない。
ということである。（逆もまた真。）
（以下の図は『ゲーデルの世界』廣瀬健・横田一正 海鳴社より引用。）
・妥当性（無矛盾性）：Ａが証明可能→Ａは恒真
・完全性：Ａは恒真→Ａが証明可能
- 自然数に関する式の例
(x)F(x)⊃(∃y)(G(y)∨(y=SS0))
・どの数ｘも性質Ｆをもつならば、ｙが性質Ｇをもつか、またはｙが２であるような数ｙが存在する。
- 論理記号に対する数字の割り当て
０ Ｓ 〜 ⊃ （ ） ＝
２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ - 対象変項に対する数字の割り当て
ｘ ｙ ｚ
11 11^2 11^3 - 第１階の関数に対する数字の割り当て
Ｆ Ｇ Ｈ
13 13^2 13^3 - 例
（ｘ）Ｆ（ｘ）
６ １１ ７ １３ ６ １１ ７ - 上の式に対するゲーデル数
2^6・3^11・5^7・7^13・11^6・13^11・17^7
「自然数論を含む述語論理の体系Ｚは、もし無矛盾ならば、形式的に不完全である。」
→「Ｚが無矛盾ならば、正しいのに証明できない論理式がある。」
→言葉で書けば、「私は証明できない」という論理式。
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数学が無矛盾ならば、数学の内部に必ず、証明できない式が存在する。
（これは数学にとっていかなる意味を持つか？人間精神にとっての意味はどうか？）