（＊以下の記述は水本雅晴著『ファジイ論理とその応用』−サイエンス社−を参考にしました。）
論理和：ｘ∨ｙ＝ｍａｘ｛ｘ，ｙ｝
論理積：ｘ∧ｙ＝ｍｉｎ｛ｘ，ｙ｝
否 定：¬ｘ＝１−ｘ
条 件：ｘ→ｙ＝ｍｉｎ｛１，１−ｘ＋ｙ｝: (ただし、０≦x≦１，０≦y≦１)
ｆ（ｘ，ｙ）＝（¬ｘ∧ｙ）∨ｘ は下のように計算する。
ｆ（ｘ，ｙ）＝ｍａｘ｛ｍｉｎ（１−ｘ，ｙ），ｘ｝
ｘ∨¬ｘ＝ｍａｘ｛ｘ，１−ｘ｝：０．５≦（ｘ∨¬ｘ）≦１
ｘ∧¬ｘ＝ｍｉｎ｛ｘ，１−ｘ｝：０≦（ｘ∧¬ｘ）≦０．５
- ｐ→ｑ と ¬ｐ∨ｑ は同値か。
- ｐ→ｐ は恒真か。
- ¬¬ｐ→ｐ は恒真か。
- ¬（ｐ∨ｑ）→¬ｐ∧¬ｑ は恒真か。
ある集合Ｘにおけるファジイ集合Ａを次のように定義する。
ＡのメンバーｘはＸに対して、メンバーシップ関数μａによって特徴づけられる。
すなわち
μａ：Ｘ→［０，１］
ｘがファジイ集合Ａに属する度合（degreeまたはgrade）は
μａ(x)∈［０，１］
上の値が１に近ければｘがＡに属する度合は高く、値が０に近ければＸがＡに属する度合は低い。
例１：「数個」を意味するファジイ集合Ａ
１から１０までの自然数の集合Ｘを考える。
μａ(1)=0,μａ(2)=0,μａ(3)=0.3,μａ(4)=0.8,μａ(5)=1,μａ(6)=1,μａ(7)=0.8,μａ(8)=0.3,μａ(9)=0,μａ(10)=0 というメンバーシップ関数が与えられているとする。
Ａを図示すれば次の通り。
例２：「若い」「オヤジ・オバサン」「ジジ・ババ」の違いは？
Ｘは年齢を表す集合である。Ｘ＝［０，１００］
「若い」「オヤジ・オバサン」「ジジ・ババ」をそれぞれＸにおけるファジイ集合とする。
「若い」度の関数：下図（１）
「オヤジ・オバサン」度の関数：下図（２）
「ジジ・ババ」度の関数：下図（３）
これを図示すれば次のようになる。
例３：ファジイ・マトリクス
「似ている」という性質のファジイ・マトリクス
Ａ∧（Ｂ∨Ｃ）⇔（Ａ∧Ｂ）∨（Ａ∧Ｃ）
Ａ∨（Ｂ∧Ｃ）⇔（Ａ∨Ｂ）∧（Ａ∨Ｃ）
参考：『数学的世界観』竹内外史（紀伊國屋書店）