no16

様相論理

様相命題論理
　「クレオパトラの鼻がもう少し低かったら、地球の全表面は変わっていただろう」（　Le nez de Cle'opa^tre : S'il eu^t e'te' plus court, toute la face de la terre aurait change'.）　というパスカルの言葉がある。こうした考え方が示しているのは、我々は自分たちの生きる世界を「ありうる世界」や「あるべき世界」との連関において捉えているという事実である。この「可能性」と「必然性」という観点を論理に導入したものが様相論理である。ただし、様相論理で扱う「可能性」「必然性」は、それぞれ論理的可能性と論理的必然性である。（その意味で、観測に基づく科学的法則は全て蓋然的なものである。）例えば、「丸い四角は存在しない。」「海王星には衛星があるか、ないか、どちらかである。」という命題は論理的な意味で必然的に真である。
必然記号：□α：αは必然的である。
可能記号：◇α：αは可能である。
□α　＝df.　￢◇￢α
◇α　＝df.　￢□￢α
体系Ｔ
命題論理の公理系に次の一つの推論規則と二つの公理を加えたもの。
【必然規則】
もしαが定理ならば□αも定理である。
αが定理であることを├ αで表せば、
　　　　　　├ α　→　├ □α
【公理】
1. 　□ｐ→ｐ
2. 　□（ｐ→ｑ）→（□ｐ→□ｑ）
【導出規則】
1. ├ （α→β） ⇒ ├ （□α→□β）
2. ├ （α⇔β） ⇒ ├ （□α⇔□β）
3. ├ （α→β） ⇒ ├ （◇α→◇β）
【体系Ｔのいくつかの定理】
1. 　ｐ→◇ｐ
2. 　□（ｐ∧ｑ）⇔（□ｐ∧□ｑ）
3. 　□ｐ⇔￢◇￢ｐ
4. 　□□ｐ⇔￢◇◇￢ｐ
5. 　￢◇（ｐ∨ｑ）⇔￢◇ｐ∧￢◇ｑ
6. 　◇（ｐ∨ｑ）⇔◇ｐ∨◇ｑ
7. 　□ｐ∨□ｑ→□（ｐ∨ｑ）
体系Ｓ４
体系Ｔの公理系に次の公理を加えた体系はＳ４と呼ばれる。
【公理】
　□ｐ→□□ｐ　（重複様相）
【Ｓ４に属しＴに属さない定理】
1. 　◇◇ｐ→◇ｐ
2. 　□ｐ⇔□□ｐ　（還元法則）
3. 　◇ｐ⇔◇◇ｐ　（還元法則）
4. 　◇□◇ｐ→◇ｐ
5. 　□◇ｐ→□◇□◇ｐ
6. 　□◇ｐ⇔□◇□◇ｐ　（還元法則）
7. 　◇□ｐ⇔◇□◇□ｐ　（還元法則）
体系Ｓ５
体系Ｔの公理系に次の公理を加えた体系はＳ５と呼ばれる。
【公理】
　◇ｐ→□◇ｐ
【定理】
1. 　◇□ｐ→□ｐ
2. 　◇ｐ⇔□◇ｐ　（還元法則）
3. 　□ｐ⇔◇□ｐ　（還元法則）
「可能世界」について
ライプニッツの「可能世界」：「あらゆる可能世界の中で、神は最善の世界を創造した。なぜなら、そうしなければ充足理由律に抵触するからである。二点を最短距離で結ぶことは、同時に、その間にある任意の二点を最短距離で結ぶことでもある。これは、宇宙についても同じことが言える。宇宙はその最小の部分の一つ一つが最高の完全性から成り立っている。そして、まさにそれゆえに、宇宙は全体として最高の完全性から成り立っているのである。」（『われわれは「自然」をどう考えてきたか』どうぶつ社　より）
□α→「全ての（可能）世界でαが成り立つ」
◇α→「ある（可能）世界でαが成り立つ」
様相命題論理の恒真性
1. 体系Ｔにおける世界の「見え方」（あるいは到達可能性）
  　　　ｗ１　―　ｗ２
  　　　　　　　　　｜
  　　　　　　　　　ｗ３
  □ｐ→ｐはＴにおいて恒真。（到達可能な世界に自分自身の世界を含める。→反射的関係。）
  □ｐ→□□ｐはＴにおいて恒真ではない。（ｗ１とｗ２でｐが成立しても、ｗ１からｗ３を見ることができない。ｗ３でｐが成立しないこともある。）
2. 体系Ｓ４における世界の「見え方」（あるいは到達可能性）
  　　　ｗ１　―　ｗ２
  　　　　　　＼　　｜
  　　　　　　　　　ｗ３
  □ｐ→□□ｐはＳ４において恒真である。（ｗ１からｗ２、ｗ２からｗ３を眺めることができれば、ｗ１からｗ３を眺めることができる。→推移的関係。）
3. 体系Ｓ５における世界の「見え方」（あるいは到達可能性）
  　　　ｗ１　　＝　ｗ２
  　　　　　＼＼　　∥
  　　　　　　　　　ｗ３
  ◇ｐ→□◇ｐはＳ５において恒真である。（ｗ１、ｗ２、ｗ３の間に対称的関係がある。→Ｓ５恒真では反射的・推移的・対称的関係が全て成り立つ。）
様相１階述語論理
バルカン定理
バルカン式　：(∀x)□Ｐx → □(∀x)Ｐx
逆バルカン式：□(∀x)Ｐx → (∀x)□Ｐx
1. 逆バルカン式の証明
  述語論理より：(∀x)Ｐx → Ｐx
  導出規則　　：□(∀x)Ｐx → □Ｐx
  述語論理より：□(∀x)Ｐx → (∀x)□Ｐx
  Ｔ体系の中で証明可能なこの式は、Ｓ４、Ｓ５でも証明可能である。
2. 逆バルカン式の変形
  □(∀x)Ｐx → (∀x)□Ｐx
  Ｐxを￢Ｑxとおく
  □(∀x)￢Ｑx → (∀x)□￢Ｑ
  ￢◇￢(∀x)￢Ｑx → ￢(∃x)￢（￢◇￢）￢Ｑx
  ￢◇(∃x)Ｑx → ￢(∃x)◇Ｑx
  (∃x)◇Ｑx → ◇(∃x)Ｑx
3. (∃x)◇Ｑx → ◇(∃x)Ｑxの直観的な意味
  「将来Ｑでありうるようなものが現に存在するならば、そのものは将来も存在しうる。」（無への消滅の否定）
  同様にバルカン式を解釈すると「Ｑであるようなものが将来存在しうるなら、Ｑでありうるものが現に存在する。」（無からの創造の否定）
  ↑
  「将来」「現在」を「他の世界」「この世界」と考えるとどうなるか。
(∀x)□Ｐxの意味
ｗ１内の全ての個体に関して、それらが全ての可能世界でＰという性格をもつ。言い換えれば、全ての可能世界を貫いて個体が同一性をもつ。これを世界交差的同一性（transworld identity）と呼ぶ。また、このような様相をＤｅＲｅ様相と呼ぶ。

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□(∀x)Ｐxの意味
各可能世界で全ての個体がＰという性格をもつ。ただしｘはそれぞれの可能世界に存在する個体である。それらの個体が他の可能世界の個体と同一であるか否かは問題にならない。このような様相をＤｅＤｉｃｔｏ様相と呼ぶ。

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