◎「全称肯定」の命題と「全称否定」の命題

◎(∀x)(xS→xP)の否定は¬(∀x)(xS→xP)ではない

◎「円の重なりで集合の関係を示す図」が有名な「ヴェン図」である。

問題：（∀ｘ）（ｘＳ→ｘＰ）：「全てのＳはＰである。」は次の図で表わせる。

では、「いかなるＳもＰではない。（全てのＳはＰでない。）」はどのように図示できるか。またそれを論理式で表わせ。

　解答：下図の通り。（塗った部分にはｘが存在しない。）

「いかなるＳもＰではない。（全てのＳはＰでない。）」は、「全てのｘについて、ｘＳはｘＰと重ならない。」ということである。「重なる」というのは「論理積」つまり（∀ｘ）（ｘＳ∧ｘＰ）を指しているから、重なりを否定して（∀ｘ）¬（ｘＳ∧ｘＰ）と書けばよい。ここで¬（∀ｘ）（ｘＳ∧ｘＰ）としないように注意が必要だ。これは部分否定になってしまうからである。（全てのものがＳかつＰであるとは限らない、という意味になる。）

　上の（∀ｘ）（ｘＳ→ｘＰ）：「全てのＳはＰである。」の形式の命題を「全称肯定」の命題と言う。また、（∀ｘ）¬（ｘＳ∧ｘＰ）：「いかなるＳもＰではない。（全てのＳはＰでない。）」の形式の命題を「全称否定」の命題と言う。これらはまず「全てのｘ」について判断を述べているから「全称」であり、それに否定記号がつくかどうかで「肯定」と「否定」に分かれている。そこで、これらを「全称肯定」と「全称否定」に区別するのである。

　これまで使ってきた「円の重なりで集合の関係を示す」図を「ヴェン図」と呼ぶ。これは英国の数学者John Venn（1834-1923）のアイデアによるものだ。彼の時代までの数学は言葉と数式によって説明を行ってきたが、集合の図形的な記号化によって、論理を直観的に捉えることができるようになったのである。

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◎「特称肯定」の命題と「特称否定」の命題

◎(∃x)(xS∧xP)の否定は¬(∃x)(xS∧xP)ではない

◎全称命題と特称命題ではヴェン図の「空白」の意味に違いがある。

問題：（∃ｘ）（ｘＳ∧ｘＰ）：「あるＳはＰである。」は下図で表わせる。

では、「あるＳはＰでない。」はどのように図示できるか。またそれを論理式で表わせ。

　解答：下図の通り。

まず「あるＳはＰである。」は「全てのＳはＰである。」と同じく、論理積の領域で考える。そして、∃ｘであるから領域に点を一つ打つことで表わそう。それが図の意味である。「あるＳはＰでない。」は、「あるｘについて、ｘはｘＳであり、かつｘＰと重ならない。」ということである。「かつ」は「論理積」ｘＳ∧ｘＰであり、「ｘＰではない」は¬ｘＰである。ゆえに全体はｘＳ∧¬ｘＰと書ける。これに存在記号をつければ（∃ｘ）（ｘＳ∧¬ｘＰ）となる。Ｐと重ならないＳの領域に点を一つ打つ。これが上図である。

　上の（∃ｘ）（ｘＳ∧ｘＰ）：「あるＳはＰである。」の形式の命題を「特称肯定」の命題と言う。また、（∃ｘ）（ｘＳ∧¬ｘＰ）：「あるＳはＰでない。」の形式の命題を「特称否定」の命題と言う。これらは「あるｘ」について判断を述べているから「特称」と呼ばれ、それに否定記号がつくかどうかで「肯定」と「否定」に分かれる。これらをまとめて「特称肯定」と「特称否定」に区別する。

　これら特称命題と全称命題の違いは、ヴェン図で見ると一目瞭前である。しかし、全称命題の場合、斜線部は集合のメンバーが存在しない領域であり、それに対して、「白い部分」はあらゆるメンバーが存在しうる領域（その可能性がある領域）であって、空白ではない。特称命題の場合、「白い部分」はそこに点が打たれていればメンバーが存在するが、何もなければ空白（メンバーの不在）である。この「空白の意味の違い」が重要である。