全称記号は「ある領域のメンバー全て」を指す働きをする。
＊ＡＬＬのＡを逆にした記号である。
問題：ｘを「人間」、Ｒを「〜は必ず死ぬ。」という述語と考えると、（∀ｘ）Ｒｘ はどう解釈できるか。
解答：「全ての人間は必ず死ぬ。」
存在記号は「ある領域のメンバーのうち、少なくとも一つ」を指す働きをする。
＊「∃」はカタカナのヨではない。ラテン語のbe動詞にあたるＥＳＳＥのＥが逆転しているのである。
問題：ｘを「人間」、Ｒを「〜は女性である。」という述語と考えると、（∃ｘ）Ｒｘ はどう解釈できるか。
解答：「ある人間は女性である。」
ここで「少なくとも一つ」というのは「１個以上」のことである。つまり、ゼロでなければいくつでもよい。「メンバー全員」であってもかまわない。数学で「ある〜は」「任意の〜は」という時と同じ意味である。
私たちが日常「ある人が言ってたのだけど〜」と言う場合、「ある人」は一人である。それは、私たちは頭の中で「特定の人」を思い浮かべ、その人を指して「ある人」と言うからだ。それに対して、述語論理の「ある人」は、まず「人の集団」（集合）を指して、次に「その中のだれか」を選ぶ。集団さえ間違っていなければ、選ぶのはだれでも、また何人でもよい。
問題：（∀ｘ）Ｒｘが「全てのｘはＲである。」、また（∃ｘ）Ｒｘが「あるｘはＲである。」とする。次の式はそれぞれどのような意味になるか。
１ （∀ｘ）¬（Ｒｘ）
２ ¬（∀ｘ）Ｒｘ
３ （∃ｘ）¬（Ｒｘ）
４ ¬（∃ｘ）Ｒｘ
解答：次の通り。
１ （∀ｘ）¬（Ｒｘ）：「全てのｘはＲでない。」「いかなるｘもＲでない。」
２ ¬（∀ｘ）Ｒｘ：「全てのｘがＲというわけではない。」「全てのｘが必ずしもＲとは限らない。」
３ （∃ｘ）¬（Ｒｘ）：「あるｘはＲでない。」
４ ¬（∃ｘ）Ｒｘ：「Ｒであるｘは一つも存在しない。」「いかなるｘもＲでない。」
＊この中で間違えやすいのは、２の¬（∀ｘ）の部分であろう。これは「全て」という記号の意味を否定するので、「必ずしも〜でない」「部分的には〜である」という「部分否定」になるのである。（英語のnot all〜の意味と同じである。
上の問題で１と４が同じ意味になることから、次のことが言える。
１ （∃ｘ）の記号は¬（∀ｘ）¬で書き換えることができる。
２ （∀ｘ）の記号は¬（∃ｘ）¬で書き換えることができる。
＊以下の図ではｘＲという逆ポーランド記法を用いている。
問題：ｘは「青年」、Ｒは「〜は孤独である。」とする。次の四つの式はそれぞれどういう意味か。
１ （∃ｘ）Ｒｘ
２ ¬（∀ｘ）¬（Ｒｘ）
３ （∀ｘ）（Ｒｘ）
４ ¬（∃ｘ）¬（Ｒｘ）
解答：この問題は前項の書き換えを日常語にしたものである。
１ （∃ｘ）Ｒｘ：ある青年は孤独である。
２ ¬（∀ｘ）¬（Ｒｘ）：全ての青年が孤独でないとは限らない。
もし全ての青年が「孤独でない」とすると、「孤独」な青年は一人もいない。しかし「全ての青年が孤独でないとは限らない。」とは「孤独な青年が少なくとも一人以上いる。」ということだ。「少なくとも一人以上」とは「ある〜」と同じ意味であった。ゆえに、これは「ある青年は孤独である。」ということを表し、１と２、二つの式は同じであることがわかる。
３ （∀ｘ）（Ｒｘ）：全ての青年は孤独である。
４ ¬（∃ｘ）¬（ｘＲ）：孤独でない青年は存在しない。
集合の中にいる青年で、「孤独でない青年」を捜すと何人いるだろう。もちろん０人、すなわちだれもいない。ということは、この式は「孤独でない青年はいない。」ことを示している。これは３と同じことを表現しているとわかる。以上のことから、∀と∃はどちらか一つあれば十分であると言える。
∀x＝df.¬(∃x)¬
∃x＝df.¬(∀x)¬
" Everybody Love Somebody "（誰かが誰かを愛してる）
（フランク・シナトラやディーン・マーティンが歌って大ヒット。）
Ｌｘｙ：ｘはｙを愛する。
(∀ｘ)(∃ｙ)Ｌｘｙ…日本語訳とのニュアンスの違いに注意。
" Somebody Loves Me "（誰かが私を愛してる）
（プラターズやペリー・コモ が歌ってヒット。）
ａ：私（個体定項）
(∃ｘ)Ｌｘａ
問題：次の式を日常語に翻訳せよ。
- (∀x)(Px∧Hxx→Hgx)
- (∀x)(Rx∧Sx→(∀y)(My→¬Gxy))
- (∀x)(Px∧Wx→¬(∃y)(Py∧Cyx))
- (∀x)(Hx→(∀y)(By→¬Lyx))
- (∀x)(∀y)(Px∧Py→(∀z)(Fzy→Jxyz))
- (∀x)((Px∧(∃y)(Gy∧Iy∧Sxy))→(∀z)(Sz→¬Txz))
定項
g：神単項述語
P：人間である。 S：石である。 R：ころがる。 M：苔である。 W：待つ。 H：家庭である。 B：場所である。 G：ガラスである。 I：家である。二項述語
Hxy：ｘはｙを助ける。 Gxy：ｘがｙを集める。 Cxy：ｘはｙのもとへ来る。 Lxy：ｘはｙに似ている。 Fxy：ｘはｙの友達である。 Sxy：ｘはｙに住む。 Txy：ｘはｙを投げる。三項述語
Jxyz：ｘはｙをｚで判断する。
- (∀x)(∀y)A(x,y)⇔(∀y)(∀x)A(x,y)
- (∃x)(∃y)A(x,y)⇔(∃y)(∃x)A(x,y)
- (∀x)(∀y)A(x,y)→(∀x)A(x,x)
- (∃x)A(x,x)→(∃x)(∃y)A(x,y)
- (∃x)(∀y)A(x,y)→(∀y)(∃x)A(x,y)
- ¬(∃x)A(x)⇔(∀x)¬A(x)
- ¬(∀x)A(x)⇔(∃x)¬A(x)
- (∃x)A(x)⇔¬(∀x)¬A(x)
- (∀x)A(x)⇔¬(∃x)¬A(x)
- (∀x)A(x)∧(∀x)B(x)⇔(∀x)(A(x)∧B(x))
- (∃x)A(x)∨(∃x)B(x)⇔(∃x)(A(x)∨B(x))
- (∀x)A(x)∨(∀x)B(x)→(∀x)(A(x)∨B(x))
- (∃x)(A(x)∧B(x))→(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)
- (∀x)A(x)→(∃x)B(x)⇔(∃x)(A(x)→B(x))
- ((∃x)A(x)→(∀x)B(x))→(∀x)(A(x)→B(x))
- 定義
∃x〜：〜のｘが存在する。
∀x〜：〜が全てのｘについて言える。
Ｃx：ｘはカラスである。
Ｗx：ｘは白い。 - ¬(∃x)(Ｃx∧Ｗx)と翻訳した場合。
⇔(∀x)¬(Ｃx∧Ｗx)
⇔(∀x)(¬Ｃx∨¬Ｗx)
⇔(∀x)(Ｃx→¬Ｗx)：カラスなら白くない、と全てのものについて言える。 - ¬(∃x)(Ｃx→Ｗx)と翻訳した場合。
⇔¬(∃x)(¬Ｃx∨Ｗx)
⇔¬(∃x)¬(Ｃx∧¬Ｗx)
⇔(∀x)(Ｃx∧¬Ｗx)
⇔(∀x)Ｃx∧(∀x)¬Ｗx
⇔(∀x)Ｃx∧¬(∃x)Ｗx：全てのものはカラスであり、かつ白いものは存在しない。